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Jul 10, 2024

A nova forma matemática de 'Einstein' cria um nunca

Uma nova forma chamada einstein conquistou o mundo da matemática. O ladrilho escarpado em forma de chapéu pode cobrir um plano infinito com padrões que nunca se repetem. Revestir o chão de um banheiro de forma criativa não é apenas

Uma nova forma chamada einstein conquistou o mundo da matemática. O ladrilho escarpado em forma de chapéu pode cobrir um plano infinito com padrões que nunca se repetem.

Revestir o chão de um banheiro de maneira criativa não é apenas uma tarefa estressante para reformadores de casas DIY. É também um dos problemas mais difíceis da matemática. Durante séculos, os especialistas têm estudado as propriedades especiais dos formatos de ladrilhos que podem cobrir pisos, backsplashes de cozinha ou planos infinitamente grandes sem deixar lacunas. Especificamente, os matemáticos estão interessados ​​em formas de ladrilhos que possam cobrir todo o plano sem nunca criar um desenho repetido. Nesses casos especiais, chamados de ladrilhos aperiódicos, não há nenhum padrão que você possa copiar e colar para manter o ladrilho funcionando. Não importa como você corta o mosaico, cada seção será única.

Até agora, os ladrilhos aperiódicos sempre exigiam pelo menos dois ladrilhos de formatos diferentes. Muitos matemáticos já haviam perdido a esperança de encontrar uma solução com uma peça, chamada de indescritível peça “einstein”, cujo nome vem das palavras alemãs para “uma pedra”.

Então, em novembro passado, o engenheiro de sistemas de impressão aposentado David Smith, de Yorkshire, Inglaterra, fez um grande avanço. Ele descobriu uma forma escarpada de 13 lados que ele acreditava poder ser um ladrilho Einstein. Quando contou isso a Craig Kaplan, cientista da computação da Universidade de Waterloo, em Ontário, Kaplan rapidamente reconheceu o potencial da forma. Juntamente com o desenvolvedor de software Joseph Samuel Myers e o matemático Chaim Goodman-Strauss, da Universidade de Arkansas, Kaplan provou que o ladrilho singular de Smith realmente pavimenta o plano sem lacunas e sem repetição. Melhor ainda, descobriram que Smith havia descoberto não apenas uma, mas um número infinito de peças de Einstein. A equipe relatou recentemente seus resultados em um artigo que foi publicado no servidor de pré-impressão arXiv.org e ainda não foi revisado por pares.

Qualquer pessoa que já tenha caminhado pelos deslumbrantes corredores de mosaico do palácio Alhambra, em Granada, Espanha, conhece a arte envolvida em ladrilhar um avião. Mas tal beleza abriga questões sem resposta – perguntas que são, como afirmou o matemático Robert Berger em 1966, comprovadamente improváveis.

Suponha que você queira ladrilhar uma superfície infinita com um número infinito de ladrilhos quadrados. Porém, você deve seguir uma regra: as bordas dos ladrilhos são coloridas e apenas as bordas da mesma cor podem se tocar.

Com peças infinitas, você começa a colocar as peças. Você encontra uma estratégia que acha que vai funcionar, mas em algum momento você se depara com um beco sem saída. Há uma lacuna que você simplesmente não consegue preencher com as peças disponíveis e você é forçado a colocar bordas incompatíveis uma ao lado da outra. Game Over.

Mas certamente, se você tivesse o ladrilho certo com a combinação de cores certa, você poderia ter saído da situação. Por exemplo, talvez você precisasse de apenas um bloco com todas as bordas da mesma cor. Um matemático olharia para o seu jogo e perguntaria: “Você pode determinar se chegará a um beco sem saída apenas olhando para os tipos de peças coloridas que recebeu no início? Isso certamente economizaria muito tempo.”

A resposta, descobriu Berger, é não. Sempre haverá casos em que você não poderá prever se conseguirá cobrir a superfície sem lacunas. O culpado: a natureza imprevisível e não repetitiva das coisas aperiódicas. Em seu trabalho, Berger encontrou um conjunto inacreditavelmente grande de 20.426 peças de cores diferentes que podem pavimentar um plano sem que o padrão de cores se repita. E melhor ainda, é fisicamente impossível formar um padrão repetitivo com aquele conjunto de peças, não importa como você as coloque.

Esta descoberta levantou outra questão que tem perseguido os matemáticos desde então: Qual é o número mínimo de formatos de ladrilhos que juntos podem criar um mosaico aperiódico?

Nas décadas que se seguiram, os matemáticos encontraram conjuntos cada vez menores de ladrilhos que podem criar mosaicos aperiódicos. Primeiro, Berger encontrou um com 104 peças diferentes. Então, em 1968, o cientista da computação Donald Knuth encontrou um exemplo com 92. Três anos depois, o matemático Raphael Robinson encontrou uma variante com apenas seis tipos de peças – e finalmente, em 1974, o físico Roger Penrose apresentou uma solução com apenas duas peças.